import numpy as np
import sympy as sp
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from Ch8_lib import *

Définition 1:

Soient $A\in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ et $t$ un paramètre réel. Le polynôme caractéristique de $A$, noté $c_A(t)$, est le polynôme défini par $$c_A(t)=\det (A-tI),$$ où $I$ est la matrice identité de taille $n\times n$.

Proposition 2:

Soient $A,P\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ et supposons que soit inversible. Alors $$c_A(t)=c_{PAP^{-1}}(t).$$

Définition 3:

Soient $V$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie et $T:V \to V$ une transformation linéaire. On définit le polynôme caractéristique de $T$ par $c_T(t)=c_A(t),$ où $A=[T]_{\mathscr{B}}$ pour une base ordonnée quelconque $\mathscr{B}$ de $V$.

Le nombre réel $\lambda$ est une valeur propre de $A\in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ si et seulement si: $$ c_A(\lambda) = \det (A-\lambda I) = 0$$

Exemple 1

Nous allons voir la méthode pour calculer les valeurs propres d'une matrice $3 \times 3$.

1. Calculer le déterminant $\det (A-\lambda I)$ avec $\lambda$ comme paramètre;
2. Obtenir un polynôme;
3. Trouver les racine du polynôme.

# Définition de la matrice (Par défaut, les coefficients sont fixés à 1)
A = [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]

# Calcul étape par étape du polynome caractéristique (degré 3 ici).
poly_char_3x3(A)

$\left|\begin{matrix}1 - \lambda & 1 & 1\\1 & 1 - \lambda & 1\\1 & 1 & 1 - \lambda\end{matrix}\right| = (1 - \lambda)\left|\begin{matrix}1 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|-1\left|\begin{matrix}1 & 1\\1 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|+1\left|\begin{matrix}1 & 1 - \lambda\\1 & 1\end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix}1 - \lambda & 1 & 1\\1 & 1 - \lambda & 1\\1 & 1 & 1 - \lambda\end{matrix}\right| = (1 - \lambda)\cdot (\lambda^{2} - 2 \lambda)-1\cdot (- \lambda)+1\cdot (\lambda)$

$\left|\begin{matrix}1 - \lambda & 1 & 1\\1 & 1 - \lambda & 1\\1 & 1 & 1 - \lambda\end{matrix}\right| = \lambda^{2} \left(3 - \lambda\right)$

On a donc le polynome caractéristique de la matrice A, les valeurs propres sont les racines de ce polynôme. On résout $$\det (A- \lambda I) = 0$$

# La ligne suivante résout l'équation ci-dessus
solve_poly_char(A)

Les racines du polynôme caractéristiques (les valeurs propres de A) sont: $\left[ 0, \ 3\right]$.

Exercice 1

Trouver les valeurs propres des matrices données ci-dessous en trouvant les racines des polynômes caractéristiques.

Pour trouver les racines des polynômes caractéristiques de degré 3 ou 4, factorisez à l'aide de racines évidentes $\in [-2, -1, 0, 1, 2]$

\begin{align*} & A_1 = \left(\begin{matrix}-2 & 4\\5 & -1\end{matrix}\right) & &A_2 = \left(\begin{matrix}1 & 2\\3 & 1\end{matrix}\right) & &A_3 = \left(\begin{matrix}1 & 0 & 4\\1 & 3 & 1\\2 & 4 & -1\end{matrix}\right) \\[1em] & A_4 = \left(\begin{matrix}4 & 0 & 1\\-2 & 1 & 0\\-2 & 0 & 1\end{matrix}\right) & & A_5 = \left(\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0\\-4 & 2 & 2 & -1\\-8 & 5 & 0 & 1\end{matrix}\right) & & A_6 = \left(\begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0\\7 & -11 & 0 & 0\\-0.5 & 2.3 & \sqrt{2} & 0\\-8 & 5 & 2 & 11\end{matrix}\right) \end{align*}

# Trouver les valeurs propres des matrices suivantes
A1 = [[-2, 4], [5, -1]]
A2 = [[1, 2], [3, 1]]
A3 = [[1, 0, 4], [1, 3, 1], [2, 4, -1]]
A4 = [[4, 0, 1], [-2, 1, 0], [-2, 0, 1]]
A5 = [[1, 2, 0, 0], [2, 1, 0, 0], [-4, 2, 2, -1], [-8, 5, 0, 1]]
A6 = [[4, 0, 0, 0], [7, -11, 0, 0], [-0.5, 2.3, sp.sqrt(2), 0], [-8, 5, 2, 11]]

# Vous pouvez également rentrer une matrice de votre choix et afficher son polynôme caractéristique 
# et ses valeurs propres
A_7 = [[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]

# Choisir matrice (A = A1 ou A = A2 ...)
A = A2

interactive_valeur_propres(A)

Quelles sont les valeurs propres de la matrice $A= \left(\begin{matrix}1 & 2\\3 & 1\end{matrix}\right)$ ? (Entrez les valeurs propres sous la forme d'une liste: [$\lambda_1$, $\lambda_2$, ...])

Valeur(s) propre(s): Vérifier

Le nombre de valeurs propres n'est pas correct.

Correct !

Incorrect, entrez de nouvelles valeurs.

Format invalide. Exemple : [1, 2]

Si vous n'arrivez pas à trouver les valeurs propres, vous pouvez afficher la solution détaillée.

Solution

On cherche les valeurs propres de la matrice $ A=\left(\begin{matrix}1 & 2\\3 & 1\end{matrix}\right)$.

Le polynome caractéristique de $A$ est: $$\det(A- \lambda I)= \lambda^{2} - 2 \lambda - 5=\lambda^{2} - 2 \lambda - 5$$

Les racines du polynôme caractéristique sont $\left[ 1 - \sqrt{6}, \ 1 + \sqrt{6}\right]$.

Ces racines sont les valeurs propres de la matrice $A$.

# Choisir matrice (A = A1 ou A = A2 ...)
A = A1

# Affiche la solution étape par étape pour la matrice A
valeurs_propres(A)

On cherche les valeurs propres de la matrice $ A=\left(\begin{matrix}-2 & 4\\5 & -1\end{matrix}\right)$.

Le polynome caractéristique de $A$ est: $$\det(A- \lambda I)= \lambda^{2} + 3 \lambda - 18=\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda + 6\right)$$

Les racines du polynôme caractéristique sont $\left[ -6, \ 3\right]$.

Ces racines sont les valeurs propres de la matrice $A$.

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